МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

Предыдущая тема Оглавление Следующая тема

-ГЛАВА 6-

ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

 

6.10. Формула Пуазейля.  Течение жидкости по трубе

 

ПУАЗЕЙЛЬ Жан Леонард Мари (22.IV 1799—26.XII 1869) — французский физиолог и физик. Р. в Париже. Учился в Политехнической школе. С 1828 г.— доктор медицины. Физические исследования относятся к молекулярной физике, главным образом изучению течения жидкости в тонких трубках. Открыл закон истечения жидкости через тонкую цилиндрическую трубку (закон Пуазейля), получивший широкое применение для определения вязкости и скорости течения в капиллярах. Изобрел вискозиметр. Первый применил в 1828 г. ртутный манометр для измерения кровяного давления.

 

При течении вязкой несжимаемой жидкости по цилиндрической трубе радиуса R линии тока ее параллельны оси трубы.

Выделим произвольную бесконечно узкую трубку тока. Из условия не сжимаемости жидкости следует, что скорость течения v будет постоянной вдоль всей трубки тока,  но может изменяться по мере удаления от оси трубы, т.е. v=f(r), где r - расстояние от оси трубы.

Выделим в трубе  произвольный бесконечно малый цилиндрический элемент длины dx и радиуса r. Ось Х совпадает с направлением течения жидкости и направлена вдоль оси трубы (рис. 6.17).

 

Рис. 6.17

В направлении течения жидкости на боковую поверхность действует касательная сила внутреннего трения

     (6.51)

где h - коэффициент вязкости; L - длина трубы.

На основания цилиндра в том же направлении действует сила разности давлений

     (6.52)

В случае стационарного течения жидкости результирующая сумма этих сил равна нулю, т.е.

   .  (6.53)

Скорость v(r) =сonst и ее производная .

Следовательно, должна быть постоянной и производная

т.е. , где Р1, Р2 - давления на входе и выходе трубы, соответственно.

Таким образом,

   .  (6.54)

После интегрирования выражения (6.54), получим

     

.

Постоянную интегрирования   С определим из условия, что на стенке трубы скорость течения жидкости должна обращаться в нуль при r=R, т.е.

   .  (6.55)

 Из формулы (6.55) следует, что скорость течения жидкости будет максимальной на оси трубы при r=0:     .

При удалении от оси трубы скорость течения изменяется по параболическому закону (рис. 6.18).

Рис. 6.18

 

Определим ежесекундный расход жидкости при протекании ее через поперечное сечение трубы. Массу жидкости, протекающую за одну секунду (расход жидкости) через сечение с внутренним r и внешним r+dr радиусами трубы, запишем в  виде:

   dQ= 2prdrrv .  (6.56)

  Подставим значение скорости v из (6.55) в (6.56). Тогда полный расход жидкости

.

После интегрирования получим формулу Пуазейля:

   .  (6.57)

Вывод:  расход жидкости прямо пропорционален разности давлений на входе и выходе трубы, четвертой степени ее радиуса, плотности жидкости; обратно пропорционален коэффициенту вязкости и длине трубы.