ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

-ГЛАВА 4-

Предыдущая тема Оглавление Следующая тема

МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

 

4.16.  Упругие и неупругие столкновения. Формула  Резерфорда

РЕЗЕРФОРД Эрнест (30.VIII 1871 — 19.Х J937) — английский физик, основоположник ядерной физики.  С 1919 г.— профессор Кембриджского ун-та и директор Кавендиш­ской лаборатории. Научные исследования посвящены радиоактивности, атомной и ядерной физике. Своими фундаментальными открытиями в этих обла­стях Резерфорд заложил основы современного учения о радиоактив­ности и теории строения атома. В 1899 г. открыл альфа- и бета-лучи и новый радиоактивный элемент — радон. Вместе с Ф. Содди в 1902 г. разработал теорию радиоактивного распада, из которой вытекало прев­ращение химических элементов, и установил закон радиоактивных превращений. В 1903 г. доказал, что альфа-лучи состоят из положительно заряженных частиц. За исследования по превращению элементов и химии радиоактивных веществ Резерфорду в 1908 г. была присуждена Нобелевская премия по химии.

 

В физике под термином "столкновения" понимают не просто непосредственный удар, например, бильярдных шаров, а процесс в более широком смысле. Столкновениями или ударом называют любые кратковременные взаимодействия частиц (тел).

После столкновения частицы в конечном состоянии могут  отличаться по своим внутренним свойствам от частиц в начальном состоянии. В связи с этим различают упругие  (см. видеоопыт "Упругий удар")  и  неупругие  (см. видеоопыт "Неупругий удар") столкновения.

Особенностью теории столкновений является то, что при этом детально не анализируются механизмы взаимодействия. Причина заключается в том, что анализ сил, возникающих при столкновении, весьма затруднителен, а во многих случаях и просто невозможен и не только из-за малого промежутка времени процесса взаимодействия. Например, так обстоит дело с ядерными силами.

Сталкивающимися частицами могут быть как элементарные частицы (например, протоны), так и частицы, имеющие внутреннюю структуру (молекулы, атомы, бильярдные шары и т.д.).

Модель "Упругий и неупругий удар"

 

В отличие от видеоопытов в приведенной модели "Упругий и неупругий удар" можно уже управлять условиями столкновения: изменять характер удара, менять скорости и массы тел. А в таблице в правой части модели приводятся результаты расчета импульсов т энергии тел, потери энергии при неупругом ударе.

Модель предназначена для изучения законов сохранения энергии и импульса на примере упругих и неупругих соударений тележек. Изменяя начальные скорости и массы тележек, а также тип соударения (упругое или неупругое), можно проследить за движением тележек после столкновения и определить кинетические энергии и импульсы каждой тележки. Убедитесь, что при упругом соударении суммарная кинетическая энергия тележек не изменяется, а при неупругом соударении она уменьшается.

Столкновениями обусловлены многие явления, рассматриваемые в различных разделах физики. Прежде всего столкновения играют основную роль в структуре и динамике плазмы и газов.

Такие процессы как передача тепла в газах, диффузии газов и др. определяются свойствами сталкивающихся молекул и других частиц друг с другом.

Особенно важное значение имеют столкновения при изучении микроскопической структуры вещества.

Свойства атомов, атомных ядер и элементарных частиц можно исследовать одним из основных способов,  изучая и анализируя их столкновения с другими частицами.

Для описания процесса взаимодействия привлекают законы сохранения, дающие возможность получить ту часть информации о столкновении, которая не зависит от конкретного вида взаимодействия между частицами.

 Поскольку законы сохранения справедливы не только в классической, но и в квантовой механике, то результаты полученные из этих  законов применимы и к  столкновениям квантовых частиц, например,  атомов, ядер и элементарных частиц.

Для полного описания процесса столкновения используется  понятие "сечение" столкновений.

Важное место при анализе столкновения занимает выбор системы отсчета.

К таким системам отсчета относят лабораторную систему (ЛС) (рис. 4.16, а, б).

Рис. 4.16

 

Рис. 4.17

 

Систему отсчета, в которой столкновения частиц изучаются опытным путем, называют лабораторной.

Иногда в этой системе отсчета одна из частиц принимается покоящейся (ее называют мишенью), а другую частицу, налетающую на нее - снарядом (рис. 4.16, б).

Для проведения теоретического анализа столкновений частиц используют  также систему центра инерции (СЦИ) (рис. 4.17).

Система отсчета, в которой центр инерции покоится, а суммарный импульс частиц системы равен нулю, называют системой центра инерции.

В такой системе отсчета векторы импульсов сталкивающихся частиц равны по величине и противоположны по направлению.

 

 

Упругое взаимодействие двух частиц

 

Процесс упруго взаимодействия осуществляется в газах (столкновение молекул), в ядерных реакциях (например, столкновение нейтрона с протоном).

Упругим называют столкновение, в результате которого внутреннее состояние взаимодействующих частиц не меняется.

Большинство упругих столкновений, за исключением ядерных реакций высоких энергий, относятся к медленным (нерелятивистским) процессам.

Для расчета процесса упругого столкновения двух частиц применяют закон сохранения импульса (3.16) и закон сохранения энергии (4.29).

.

Wp1 +Wk1= Wp2+ Wk2 =...= const.

Для изолированной системы двух взаимодействующих частиц закон сохранения импульса запишем в виде

   ,

(4.33)

где р1 = m1v1,  p2 = m2v2 -  импульсы частиц до взаимодействия (m1, m2 и v1, v2 - массы и скорости частиц до взаимодействия);  = m1u1,  = m2u2 - импульсы этих же частиц после взаимодействия (u1, u2 - скорости частиц после взаимодействия).

Закон сохранения энергии упругого столкновения двух частиц

   

(4.34)

 

 

Лабораторная  система  отсчета

 

Применяя закон сохранения центра масс (инерции) к системе  двух частиц с учетом формул

   

(4.35)

 где  - радиус- вектор центра масс; ,  - радиусы - векторы частиц в выбранной системе отсчета, имеем

   

(4.36)

Скорости частиц в ЛС можно выразить через скорость их центра инерции и скорости их относительного движения и  соответственно до и после столкновения. Дифференцируя  (4.36) по времени и учитывая закон сохранения центра инерции (масс) , находим векторы скорости частиц до взаимодействия

   

(4.37)

и векторы скорости  частиц после взаимодействия

   

(4.38)

Найдя с помощью (4.37) и (4.38) импульсы  частиц, прямой подстановкой их в (4.33) можно убедиться в том, что (4.33) обращается в тождество. Следовательно, формулы (4.37) и (4.38) учитывают  закон сохранения импульса для взаимодействующих частиц.

 

 

Система центра инерции

В системе (СЦИ) =0. Следовательно, векторы импульсов взаимодействующих частиц в этой системе можно записать в виде

где

   

(4.39)

приведенная масса двух частиц.

Подставляя полученные значения импульсов в формулу (4.34), имеем:

   

(4.40)

Из формулы (4.40) следует, что относительная скорость частиц до взаимодействия равна относительной скорости частиц после их взаимодействия (v=v*), т.е. в результате столкновения частиц скорость относительного движения  изменяет только свое направление, а по абсолютному значению остается неизменной (рис. 4.18). Угол q - называют углом рассеяния в СЦИ и по величине он может быть любым.

В ЛС все расчеты значительно сложнее, что и подтверждает преимущество СЦИ для проведения анализа взаимодействия.

При этом, если рассматриваемые частицы движутся навстречу друг другу с равными по величине, но противоположно направленными векторами импульсов  , то суммарный импульс системы из двух частиц равен нулю, т.е.

   

(4.41)

Поэтому при упругом и лобовом столкновение двух частиц (бильярдные шары) они "отражаются" друг от друга и удаляются в противоположных направлениях  с теми же по величине скоростями.

Замечание: условие (4.41) выполняется и в случае неупругого столкновения частиц.

Следовательно, как при упругих, так и неупругих столкновениях в СЦИ импульсы не зависят от угла, как это имеет место в других системах отсчета, например, в ЛС.

Рис. 4.18

 

Рис. 4.19

 

Если же столкновение не лобовое (рис.4.18), то скорости частиц после взаимодействия  остаются неизменными по величине, но направление векторов скоростей (импульсов) частиц после столкновения составляет некоторый угол Ðq  с их первоначальным направлением (рис. 4.18).

При упругом взаимодействии величины импульсов не изменяются, т. е.    .

Таким образом, в СЦИ  процесс взаимодействия характеризуется высокой степенью  симметрии, и поэтому анализ движения в ней осуществить проще, чем в любой другой системе отсчета (например, в экспериментах  на накопительных кольцах частицы движутся навстречу друг другу с равными по величине, но противоположно направленными импульсами).

Если процесс столкновения частиц является упругим,  центральным и происходит, например, вдоль оси Х (рис.4.19), то для нахождения величин скоростей частиц после взаимодействия воспользуемся законом сохранения импульса (4.33) в проекциях на ось Х

   р=

(4.42)

или

   

(4.43)

и законом сохранения энергии (4.34) в виде

   ,

(4.44)

так как , векторы скорости всех частиц параллельны оси Х, то vy=0, vz=0  () и, следовательно, .

Формулы (4.43)  и (4.44) преобразуем к виду

   

(4.45)

   

(4.46)

Решая совместно (4.45) и (4.46), имеем

   

(4.47)

где ,- соответствующие проекции относительных скоростей на ось Х двух частиц до и после столкновения.

Вывод: относительная скорость двух частиц до столкновения в точности равна их  относительной скорости после столкновения [см. формулу (4.40)]. Такой вывод справедлив для любого лобового упругого удара независимо от того, какие массы имеют частицы.

Выражая последовательно u2x и u1x из (4.47) и после подстановки их значений в (4.45), найдем  скорости частиц после взаимодействия

   ,

(4.48)

   .

(4.49)

Рассмотрим некоторые частные случаи:

1. Если массы взаимодействующих частиц равны (m1=m2), то u1x=v2x, u2x=v1x, т.е. частицы обмениваются скоростями.

2. Вторая частица до столкновения покоится (v2=0): а)  если массы взаимодействующих частиц равны (m1=m2), то u1x=0 и u2x=v1x, т.е. первое тело останавливается после столкновения, а вторая частица начинает двигаться со скоростью первой, какую она имела до столкновения; б) если m1 > m2, то первая частица продолжает двигаться в том же направлении, что и до удара, но с меньшей скоростью (u2 < v1). Скорость второй частицы после удара увеличится, т.е. u2 > u1; в) если m1 < m2, то первая частица после столкновения изменит направление скорости (импульса) на противоположное. Вторая частица начинает движение в том  же направлении, в каком двигалась  первая частица до столкновения;

г) если m1 << m2 (случай упругого взаимодействия частицы с массивной неподвижной стенкой), то u1 = -v1, u2=0, т.е. скорость налетающей частицы после соударения со стенкой изменится на противоположное, а величина останется неизменной.

 

Упругое столкновение в двух измерениях

 

При рассмотрении столкновений в двух измерениях необходимо учитывать векторный характер импульсов взаимодействующих частиц. Из всех случаев столкновений обычно рассматривают два: 1) одна частица (снаряд) сталкивается с другой частицей (мишенью), находящейся до взаимодействия в состоянии покоя; 2) импульсы частиц до столкновения направлены вдоль одной прямой.

Если столкновение не лобовое, то в любом случае импульсы частиц после столкновения не совпадают с первоначальными их направлениями.

В этом случае столкновение является двумерным, т.к. траектории взаимодействующих частиц лежат в плоскости, образованной первоначальными и конечными направлениями векторов импульсов частиц.

Рассмотрим столкновение частицы массой m1, движущейся вдоль оси Х со скоростью  (импульсом ), с покоящейся частицей  массой m2 (рис. 4.20). После взаимодействия частицы разлетаются под углами Ða 1 и  Ða2 относительно направления  вектора импульса первой частицы параллельного оси Х. Например, для ядерных или электрически заряженных частиц процесс отклонения начинается до столкновения из-за существования ядерной или кулоновской силы, действующей между частицами.

Рис. 4.20

 

 Расстояние r0  на рис. 4.20 называют прицельным параметром, который является мерой отклонения  от лобового столкновения. При r0=0 столкновение является лобовым.

Согласно закону сохранения импульса для изолированной системы, имеем

,

где  .

Запишем закон сохранения импульса в проекциях:

а) на ось Х         

б) на оси У        .

Применяя  закон сохранения энергии, получим

.

Из полученных трех уравнений следует, что можно найти только три неизвестных величины.

Если провести измерение, например, угла  Ða 1, то переменные  можно найти используя полученные выше три уравнения.

Все скорости и углы измеряются значительно раньше или значительно позже столкновения пока не действуют (или уже не действуют) силы взаимодействия между частицами.

Полученные в этом пункте теоретические соотношения для можно использовать в следующей модели "Упругое столкновение шаров". Рекомендуем самостоятельно убедиться в правильности полученных выше формул.